Question

在以O為原點的直角坐標系中，點A（4，-3）為△OAB的直角頂點，若|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標大于0
（1）求向量的坐標；
（2）是否存在實數(shù)a，使得拋物線y=ax²-1上總有關(guān)于直線OB對稱的兩個點？若存在，求實數(shù)a的取值范圍，若不存在，說明理由；

Answer 1

【答案】分析：（1）假設向量的值，根據(jù)|AB|=2|OA|、AB⊥OA得到方程組可解出向量的坐標．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為拋物線上關(guān)于直線OB對稱的兩點，根據(jù)對稱性找出x₁，y₁，x₂，y₂的關(guān)系，聯(lián)立方程可解．
解答：解：（1）設，
則由，得
解得或
因為
所以υ-3＞0，υ=8
故=（6，8）；
（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2）為
拋物線上關(guān)于直線OB對稱的兩點，
則，又因為
可得
即x1，x2為方程的兩個相異實根
于是，由，可得
故當時，
拋物線y=ax2-1上總有關(guān)于直線OB對稱的兩個點．
點評：本題主要考查向量的基本運算和對稱點的問題．向量運算是高考必考題，注意運算法則的記憶．