Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（1-x），
（1）求函數(shù)的解析式，并畫出函數(shù)圖象；
（2）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）因?yàn)閤≥0時(shí)，f（x）=x（1-x），所以，當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，整體代入由函數(shù)的奇偶性可得答案；所得的函數(shù)解析式結(jié)合二次函數(shù)的圖象特點(diǎn)，可函數(shù)的圖象．
（2）根據(jù)圖象寫出單調(diào)區(qū)間和值域即可．

解答： 解：（1）因?yàn)閤≥0時(shí)，f（x）=x（1-x），所以，當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∴f（-x）=-x（1+x），又因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-x（1+x），即f（x）=x（1+x）-------（4分）
綜上f（x）=

x(1-x)，(x≥0) x(1+x)，(x＜0)

-------------（6分）
由函數(shù)的解析式可得其圖象，如圖：
（2）由函數(shù)的圖象可知：
增區(qū)間：[-

1

2

，

1

2

]，
減區(qū)間：（-∞，-

1

2

），（

1

2

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的解析式，以及函數(shù)圖象的作法，屬中檔題．