Question

8．函數(shù)f（x）=sinx+cosx的圖象向右平移φ（φ＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則φ的最小值是（　�。�

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{3}{4}π$
• D． $\frac{3}{2}π$

Answer 1

分析 根據(jù)輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)得y$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），從而得出平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$-φ），由平移后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到$\frac{π}{4}$-φ=kπ（k∈Z），再取k=0得到P的最小正值．

解答 解：y=sinx+cosx=$\sqrt{2}$（sinxcos$\frac{π}{4}$+cosxsin$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）．
將函數(shù)的圖象向右平移P個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到y(tǒng)=$\sqrt{2}$sin[（x-φ）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$-φ）的圖象．
∵平移后得到的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，
∴$\frac{π}{4}$-φ=kπ（k∈Z），可得φ=$\frac{π}{4}$-kπ（k∈Z），
取k=0，得到φ的最小正值為$\frac{π}{4}$．
故

點(diǎn)評(píng) 本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，已知函數(shù)圖象右移φ個(gè)單位個(gè)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求平移的最小長(zhǎng)度．著重考查了三角恒等變換公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)圖象平移公式等知識(shí)，屬于中檔題．