Question

已知數(shù)列{a_n}為各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，其公比為q．
（1）當(dāng)q=時(shí)，在數(shù)列{a_n}中：
①最多有幾項(xiàng)在1～100之間？
②最多有幾項(xiàng)是1～100之間的整數(shù)？
（2）當(dāng)q＞1時(shí)，在數(shù)列{a_n}中，最多有幾項(xiàng)是100～1000之間的整數(shù)？（參考數(shù)據(jù)：lg3=0.477，lg2=0.301）．

Answer 1

【答案】分析：（1）①不妨設(shè)a₁≥1，設(shè)數(shù)列a_n有n項(xiàng)在1和100之間，由題意得：≤100．兩邊同取對(duì)數(shù)可得n≤12.37．從而得出n的最大值為12即得；
②不妨設(shè)1≤a₁＜＜＜…＜≤100，其中a₁，，，，均為整數(shù)，利用指數(shù)不等式3^n-1≤100，得出n≤5從而得出當(dāng)q=時(shí)，最多有5項(xiàng)是1和100之間的整數(shù)；
（2）設(shè)等比數(shù)列aq^n-1滿足100≤a＜aq＜＜aq^n-1≤1000，再設(shè)q=，t＞s≥1，t與s互質(zhì)，根據(jù)題意得到a是s^n-1的倍數(shù)，令t=s+1，于是數(shù)列滿足不等關(guān)系：100≤a＜a•＜＜a•≤100．下面就s進(jìn)行分類討論：如果s≥3，如果s=1，如果s=2，即可得出最多有幾項(xiàng)是100～1000之間的整數(shù)．
解答：解：（1）①不妨設(shè)a₁≥1，設(shè)數(shù)列a_n有n項(xiàng)在1和100之間，則≤100．所以，≤100．
兩邊同取對(duì)數(shù)，得（n-1）（lg3-lg2）≤2．解之，得n≤12.37．
故n的最大值為12，即數(shù)列a_n中，最多有12項(xiàng)在1和100之間．（5分）
②不妨設(shè)1≤a₁＜＜＜＜≤100，其中a₁，，，，均為整數(shù)，所以a₁為2^n-1的倍數(shù)．所以3^n-1≤100，所以n≤5．（8分）
又因?yàn)?6，24，36，54，81是滿足題設(shè)要求的5項(xiàng)．
所以，當(dāng)q=時(shí)，最多有5項(xiàng)是1和100之間的整數(shù)．（10分）
（2）設(shè)等比數(shù)列aq^n-1滿足100≤a＜aq＜＜aq^n-1≤1000，
其中a，aq，，aq^n-1均為整數(shù)，n∈N^*，q＞1，顯然，q必為有理數(shù)．（11分）
設(shè)q=，t＞s≥1，t與s互質(zhì)，
因?yàn)閍q^n-1=為整數(shù)，所以a是s^n-1的倍數(shù)．（12分）
令t=s+1，于是數(shù)列滿足100≤a＜a•＜＜a•≤100．
如果s≥3，則1000≥a•≥（q+1）n-1≥4n-1，所以n≤5．
如果s=1，則1000≥a•2^n-1≥100•2^n-1，所以，n≤4．
如果s=2，則1000≥a•≥100•，所以n≤6．（13分）
另一方面，數(shù)列128，192，288，432，648，972滿足題設(shè)條件的6個(gè)數(shù)，
所以，當(dāng)q＞1時(shí)，最多有6項(xiàng)是100到1000之間的整數(shù)．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列與不等式的綜合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．