Question

已知，a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|．
（1）當a＞2時，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值；
（2）設(shè)a≠0，若函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m、n的取值范圍．（用a表示）

Answer 1

分析：（1）化簡函數(shù)f（x）的解析式為-(x-

a

2

)2+

a2

4

，分

a

2

∈[1，2]、

a

2

＞2 兩種情況，分別求出它的最小值．
（2）a≠0，f（x）=

x(x-a)  ，  x≥a x(a-x) ，  x＜a

，分a＞0和a＜0兩種情況，分別畫出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合圖象，根據(jù)題中要求，分別求出m、n的取值范圍．

解答：解：（1）∵a＞2，x∈[1，2]，∴f（x）=x|x-a|=-x²+ax=-(x-

a

2

)2+

a2

4

．
由于 4≥a＞2，即當

a

2

∈[1，2]時，則當 x=

a

2

 時，f_min（x）=

a2

4

．
當

a

2

＞2 時，即a＞4時，f（x）在∈[1，2]上是減函數(shù)，
當x=2時，f（x）有最小值為f_min（x）=-(2-

a

2

)2+

a2

4

=2a-4．
綜上可得，f_min（x）=

a2 4  ，  4≥a＞2 2a-4 ，  a＞4

．
（2）a≠0，f（x）=

x(x-a)  ，  x≥a x(a-x) ，  x＜a

．
①當a＞0時，f（x）的圖象如圖1所示：顯然函數(shù)f（x）在（-∞，a）上的最大值為f（

a

2

）=

a2

4

．
由

y= a2 4 y= x(x-a)

，解得x=

1+ 2

2

a．
由于函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，∴0≤m＜

a

2

，a＜n≤

1+ 2

2

a．
   圖1  圖2 
 
②當a＜0時，如圖2所示：顯然函數(shù)f（x）在（a，+∞）上的最小值為f（

a

2

）=-

a2

4

．
由

y=- a2 4 y= x(a-x)

 解得 x=

1- 2

2

a．

由于函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，故有

1- 2

2

a≤m＜a，

a

2

＜n≤0．

點評：本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，
屬于中檔題．