已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
-2x+b2x+1+a
是奇函數(shù).
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)解關(guān)于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.
分析:(Ⅰ)直接根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù),滿足f(-x)=-f(x),把x=0,和x=1代入,即可得到關(guān)于a,b的兩個(gè)等式,解方程組求出a,b的值.
(Ⅱ)先對函數(shù)進(jìn)行整理得到其單調(diào)性,再結(jié)合其為奇函數(shù),即可把原不等式轉(zhuǎn)化,從而得到結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0⇒
-1+b
2+a
=0,解得b=1,
f(x)=
-2x+1
2x+1+a
又由f(1)=-f(-1)⇒
-2+1
4+a
=-
-
1
2
+a
1+a
,解得a=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=
-2x+1
2x+1+2
=-
1
2
+
1
2x+1 

由上式知f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù)
又因f(x)是奇函數(shù),從而不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0等價(jià)于
f(t2-2t)<-f(2t2-1)=f(-2t2+1).
因f(x)是減函數(shù),由上式推得t2-2t>-2t2+1,
即3t2-2t-1>0解不等式可得t>1或t<-
1
3

故不等式的解集為:{ t|t>1或t<-
1
3
}.
點(diǎn)評:本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì),以及應(yīng)用性質(zhì)求參數(shù)的值,屬于函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.解決第二問的關(guān)鍵在于先得到函數(shù)的單調(diào)性.
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3
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已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
-2x+a2x+1
是奇函數(shù)
(1)求a值;
(2)判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(4)設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(4x-b)+f(-2x+1)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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