Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）解關于t的不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，滿足f（-x）=-f（x），把x=0，和x=1代入，即可得到關于a，b的兩個等式，解方程組求出a，b的值．
（Ⅱ）先對函數(shù)進行整理得到其單調(diào)性，再結(jié)合其為奇函數(shù)，即可把原不等式轉(zhuǎn)化，從而得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0⇒

-1+b

2+a

=0，解得b=1，
f（x）=

-2x+1

2x+1+a

又由f（1）=-f（-1）⇒

-2+1

4+a

=-

- 1 2 +a

1+a

，解得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

由上式知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)
又因f（x）是奇函數(shù)，從而不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等價于
f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（-2t²+1）．
因f（x）是減函數(shù)，由上式推得t²-2t＞-2t²+1，
即3t²-2t-1＞0解不等式可得t＞1或t＜-

1

3

；
故不等式的解集為：{ t|t＞1或t＜-

1

3

}．

點評：本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，以及應用性質(zhì)求參數(shù)的值，屬于函數(shù)性質(zhì)的應用．解決第二問的關鍵在于先得到函數(shù)的單調(diào)性．