Question

（2013•虹口區(qū)二模）若-

π

2

≤α≤

π

2

，0≤β≤π，m∈R，如果有α³+sinα+m=0，(

π

2

-β)3+cosβ+m=0，則cos（α+β）值為（　　）

• A．-1
• B．0
• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：考查函數(shù)f（x）=x³+sinx是奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數(shù)．令γ=

π

2

-β，由條件可得 f（α）=-m，f（γ）=-m，故α=γ=

π

2

-β，即 α+β=

π

2

，由此求得cos（α+β）的值．

解答：解：考查函數(shù)f（x）=x³+sinx，顯然f（x）滿足f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函數(shù)．
∵f′（x）=2x²+cosx，∴若-

π

2

≤x≤

π

2

，則 f′（x）=2x²+cosx≥0，
故函數(shù)f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數(shù)．
∵α³+sinα+m=0，(

π

2

-β)3+cosβ+m=0，令γ=

π

2

-β，
則有 γ∈[-

π

2

，

π

2

]，γ³+sinγ+m=0．
∴f（α）=-m，f（γ）=-m，故有 f（α）=f（γ）．
根據(jù)函數(shù)f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數(shù)，可得α=γ=

π

2

-β，即 α+β=

π

2

，
故cos（α+β）=0，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，求函數(shù)的值，屬于中檔題．