分析:(I)利用三角形的中位線定理可證DE∥平面A1BC1.利用平行四邊形的判定定理可證四邊形ECC1A1是平行四邊形,進(jìn)而證明EC∥平面A1BC1,利用兩個平面平行的判定定理得到平面DEC∥平面A1BC1.利用兩個平面平行的性質(zhì)定理可得結(jié)論;
(II)通過建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角.
解答:證明:(I)在△AA
1B中,
∵D,E分別是AB,AA
1的中點,
∴DE∥BA
1,
又∵DE?平面A
1BC
1,A
1B?平面A
1BC
1,
∴DE∥平面A
1BC
1.
∵AA
1=2,CC
1=1,E分別是AA
1的中點,
∴EA
1=CC
1,
又∵CC
1∥AA
1,∴四邊形ECC
1A
1是平行四邊形,
∴EC∥A
1C
1.
而EC?平面A
1BC
1,A
1C
1?平面A
1BC
1,
∴EC∥平面A
1BC
1,
∵ED∩EC=E,ED,EC?平面DEC,
∴平面DEC∥平面A
1BC
1.
∴BC
1∥平面CDE;
(II)∵AA
1⊥平面ABC,
∴可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則E(0,0,1),A(0,0,0).
不妨設(shè)AC=4a(a>0),
∵AB⊥BC,AB=BC,D是AB的中點.
則C(0,4a,0),B(2a,2a,0),D(a,a,0).
∴
=(-a,3a,0),
=(-a,-a,1).
設(shè)平面CDE的法向量為
=(x,y,z),則
令y=1,則x=3,z=4a.
∴
=(3,1,4a).
∵AA
1⊥平面ABC,
∴可 取
=(0,0,2)作為平面ABC的法向量.
∴
cos<,>=
=
=
,
∴
sin<,>=
=
,
∴
tan<,>=
.
點評:熟練掌握三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面與平面平行的判定和性質(zhì)定理、通過建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角是解題的關(guān)鍵.