(2013•杭州二模)在幾何體中,AA1⊥平面ABC,AB⊥BC,CC1∥AA1,AB=BC,AA1=2,CC1=1,D,E分別是AB,AA1的中點.
(Ⅰ)求證:BC1∥平面CDE;
(Ⅱ)求二面角E-DC-A的平面的正切值.
分析:(I)利用三角形的中位線定理可證DE∥平面A1BC1.利用平行四邊形的判定定理可證四邊形ECC1A1是平行四邊形,進(jìn)而證明EC∥平面A1BC1,利用兩個平面平行的判定定理得到平面DEC∥平面A1BC1.利用兩個平面平行的性質(zhì)定理可得結(jié)論;
(II)通過建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角.
解答:證明:(I)在△AA1B中,
∵D,E分別是AB,AA1的中點,
∴DE∥BA1,
又∵DE?平面A1BC1,A1B?平面A1BC1,
∴DE∥平面A1BC1
∵AA1=2,CC1=1,E分別是AA1的中點,
∴EA1=CC1,
又∵CC1∥AA1,∴四邊形ECC1A1是平行四邊形,
∴EC∥A1C1
而EC?平面A1BC1,A1C1?平面A1BC1,
∴EC∥平面A1BC1,
∵ED∩EC=E,ED,EC?平面DEC,
∴平面DEC∥平面A1BC1
∴BC1∥平面CDE;
(II)∵AA1⊥平面ABC,
∴可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則E(0,0,1),A(0,0,0).
不妨設(shè)AC=4a(a>0),
∵AB⊥BC,AB=BC,D是AB的中點.
則C(0,4a,0),B(2a,2a,0),D(a,a,0).
DC
=(-a,3a,0)
DE
=(-a,-a,1)

設(shè)平面CDE的法向量為
n
=(x,y,z)
,則
-ax+3ay=0
-ax-ay+z=0

令y=1,則x=3,z=4a.
n
=(3,1,4a)

∵AA1⊥平面ABC,
∴可 取
AA1
=(0,0,2)
作為平面ABC的法向量.
cos<
n
,
AA1
=
n
AA1
|
n
| |
AA1
|
=
8a
2
10+16a2
=
4a
10+16a2
,
sin<
n
AA1
=
1-(
4a
10+16a2
)2
=
10
10+16a2
,
tan<
n
,
AA1
=
10
4a
點評:熟練掌握三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面與平面平行的判定和性質(zhì)定理、通過建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•杭州二模)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c.已知c=2.a(chǎn)cosB-bcosA=
72

(I)求bcosA的值;
(Ⅱ)若a=4.求△ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•杭州二模)設(shè)全集U=R,集合A={x|x≤2},B={x|-1<x≤3},則(?UA)∪(?UB)=(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•杭州二模)已知i是虛數(shù)單位,則
1+i
i
+
i
1+i
=( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•杭州二模)設(shè)m∈R,則“m=5”直線l:2x-y+m=0與圓C:(x-1)2+(y-2)2=5恰好有一個公共點”的( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•杭州二模)在一盆子中有編號為1,2的紅色球2個,編號為1,2的白色球2個,現(xiàn)從盒子中摸出兩個球,每個球被摸到的概率相同,則摸出的兩個球中既含有2種不同顏色又含有2個不同編號的概率是( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案