Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點P是直線 l：x=-

1

2

上一動點，點 F（

1

2

，0），點Q為PF的中點，點M滿足MQ⊥PF，且 

MP

=λ

OF

（λ∈R）．過點M作圓 （x-3）²+y²=2的切線，切點分別為S，T，則|ST|的最小值為（　�。�

• A、

  2 30

  5

• B、

  30

  5

• C、

  7

  2

• D、

  5

  2

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：由題意首先求出M的軌跡方程，然后在M滿足的曲線上設(shè)點，只要求曲線上到圓心的距離的最小值，即可得到|ST|的最小值．

解答：解：設(shè)M坐標(biāo)為 M（x，y），由MP⊥l知 P（-

1

2

，y）；由“點Q為PF的中點”知 Q（0，

y

2

）；
又因為QM⊥PF，QM、PF斜率乘積為-1，即

y- y 2

x

=-

- 1 2 - 1 2

y

，
解得：y²=2x，
所以M的軌跡是拋物線，
設(shè)M（y²，

2

y），到圓心（3，0）的距離為d，d²=（y²-3）²+2y²=y⁴-4y²+9=（y²-2）²+5，
∴y²=2時，d_mln=

5

，此時的切線長為

( 5 )2- 2 2

=

3

，所以切點距離為2

3 × 2

5

=

2 30

5

；
∴|ST|的最小值為

2 30

5

；
故選A．

點評：本題考查了拋物線軌跡方程的求法以及與圓相關(guān)的距離的最小值求法，屬于中檔題．