Question

20．已知函數(shù)f（x）=2lnx+x²-ax+2（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，1]，使得對(duì)任意的a∈[-2，0），不等式f（x₀）＞a²+3a+2-2me^a（a+1）（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ） $f'（x）=\frac{2}{x}+2x-a=\frac{{2{x^2}-ax+2}}{x}（x＞0）$．令h（x）=2x²-ax+2，△=a²-16．通過①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)0＜a≤4時(shí)，③當(dāng)a＞4時(shí)，分別判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a∈[-2，0）時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，求出函數(shù)f（x）的最大值是f（1）=3-a，對(duì)任意的a∈[-2，0），都存在x₀∈（0，1]，使得不等式$2m{e^a}（a+1）+f（{x_0}）＞{a^2}+3a+2$成立，轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意的a∈[-2，0），不等式2me^a（a+1）-a²-4a+1＞0都成立，記h（a）=2me^a（a+1）-a²-4a+1，求出導(dǎo)函數(shù)，通過①當(dāng)m≤1時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出最值，②當(dāng)m＞1時(shí)，（�。┊�(dāng)1＜m＜e²時(shí)，（ⅱ）當(dāng)m≥e²時(shí)，通過函數(shù)的地址求解m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{2}{x}+2x-a=\frac{{2{x^2}-ax+2}}{x}（x＞0）$．
令h（x）=2x²-ax+2，△=a²-16．
①當(dāng)a≤0時(shí)，-ax≥0，∴$f'（x）=\frac{h（x）}{x}＞0$，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)0＜a≤4時(shí)，△=a²-16≤0，所以h（x）≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a＞4時(shí)，△=a²-16＞0，
令h（x）=0，得${x_1}=\frac{{a-\sqrt{{a^2}-16}}}{4}＞0，{x_2}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}-16}}}{4}＞0$，
f′（x）＞0⇒x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）；f′（x）＜0⇒x∈（x₁，x₂）．
所以，f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）單調(diào)遞減．
綜上，1°當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
2°當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）單調(diào)遞減．
（注：如果在每種情況中已說明函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，不寫綜上不扣分；如果每種情況只解出不等式，最后沒寫綜上扣1分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a∈[-2，0）時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值是f（1）=3-a，對(duì)任意的a∈[-2，0），
都存在x₀∈（0，1]，使得不等式$2m{e^a}（a+1）+f（{x_0}）＞{a^2}+3a+2$成立，
即對(duì)任意的a∈[-2，0），$2m{e^a}（a+1）+f{（{x_0}）_{max}}＞{a^2}+3a+2$都成立，
即對(duì)任意的a∈[-2，0），不等式2me^a（a+1）-a²-4a+1＞0都成立，
記h（a）=2me^a（a+1）-a²-4a+1，則h'（a）=2me^a（a+2）-2a-4=2（a+2）（me^a-1）．∵a∈[-2，0），∴${e^a}∈[\frac{1}{e^2}，1）$，且a+2≥0．
①當(dāng)m≤1時(shí)，me^a-1＜0，∴h'（a）≤0，即a∈[-2，0）時(shí)，h（a）單調(diào)遞減．
∴h（a）＞0，只需h（0）≥0，解得$m≥-\frac{1}{2}$，∴$m∈[-\frac{1}{2}，\;1]$．
②當(dāng)m＞1時(shí)，令h'（a）=0得a=-2或a=-lnm，因?yàn)閍∈[-2，0），所以2（a+2）≥0．
（�。┊�(dāng)1＜m＜e²時(shí)，-lnm∈[-2，0），當(dāng)a∈（-2，-lnm）時(shí)，h'（a）＜0；
當(dāng)a∈（-lnm，0）時(shí)，h'（a）＞0，∴$h{（a）_{min}}=h（-lnm）=-{ln^2}m+2lnm+3＞0$，
解得$m∈（\frac{1}{e}，{e^3}）$，∴m∈（1，e²）．
（ⅱ）當(dāng)m≥e²時(shí)，因?yàn)?2≤a＜0，所以$\frac{1}{e^2}≤{e^a}＜1$，所以me^a≥1，所以h'（a）≥0，
則h（a）在[-2，0）上單調(diào)遞增，得h（-2）=5-2me^-2＞0，即$m＜\frac{{5{e^2}}}{2}$，∴$m∈[{e^2}，\frac{{5{e^2}}}{2}）$．
綜上，m的取值范圍是$[-\frac{1}{2}，\frac{{5{e^2}}}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性，極值以及最值的關(guān)系，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．