Question

5．已知函數(shù)$f（x）=x{e^x}-a（\frac{1}{2}{x^2}+x）（a∈R）$．
（Ⅰ）若a=0，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若?x∈（-2，0），f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f（1）的值，求出切線方程即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為$a≤\frac{{2{e^x}}}{x+2}$在（-2，0）恒成立，令$g（x）=\frac{{2{e^x}}}{x+2}$（-2＜x＜0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可；
（Ⅲ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=（x+1）e^x，∴切線的斜率k=f'（1）=2e，
又f（1）=e，y=f（x）在點(diǎn)（1，e）處的切線方程為y-e=2e（x-1），
即2ex-y-e=0．
（Ⅱ）∵對(duì)?x∈（-2，0），f（x）≤0恒成立，∴$a≤\frac{{2{e^x}}}{x+2}$在（-2，0）恒成立，
令$g（x）=\frac{{2{e^x}}}{x+2}$（-2＜x＜0），$g'（x）=\frac{{2{e^x}（x+2）-2{e^x}}}{{{{（x+2）}^2}}}=\frac{{2{e^x}（x+1）}}{{{{（x+2）}^2}}}$，
當(dāng)-2＜x＜-1時(shí)，g'（x）＜0，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g'（x）＞0，
∴g（x）在（-2，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，0）上單調(diào)遞增，
∴$g{（x）_{min}}=g（-1）=\frac{{2{e^{-1}}}}{-1+2}=\frac{2}{e}$，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（-∞，\frac{2}{e}]$．
（Ⅲ）f'（x）=（x+1）（e^x-a）．
令f'（x）=0，得x=-1或x=lna，
①當(dāng)$a=\frac{1}{e}$時(shí)，f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{e}$時(shí)，lna＜-1，
由f'（x）＞0，得x＜lna或x＞-1；由f'（x）＜0，得lna＜x＜-1．
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，lna），（-1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（lna，-1）．
③當(dāng)$a＞\frac{1}{e}$時(shí)，lna＞-1，
由f'（x）＞0，得x＜-1或x＞lna；由f'（x）＜0，得-1＜x＜lna．
∴f（x）單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（lna，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，lna）．
綜上所述：當(dāng)$a=\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）單調(diào)增區(qū)間為（-∞，lna），（-1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（lna，-1）；
當(dāng)$a＞\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（lna，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，lna）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．