Question

（2013•崇明縣二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點，
AB=2，AP=2．
（1）求三棱錐P-BCD的體積；
（2）求異面直線EF與PD所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得PA是三棱錐P-BCD的高，求出△BCD的面積，再結(jié)合錐體體積公式，可得三棱錐P-BCD的體積；
（2）由三角形中位線定理，得EF∥PB，所以∠BPD或其補角為面直線EF與PD所成角，再通過計算得到△PBD是邊長為2

2

的正三角形，得到異面直線EF與PD所成角的大小為60°．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴PA是三棱錐P-BCD的高
又∵△BCD面積為S=

1

2

×2×2=2，
∴三棱錐P-BCD的體積V=

1

3

S_△BCD•PA=

1

3

×2×2=

4

3

（2）∵△PBC中，EF是中位線
∴EF∥PB，EF=

1

2

PB
可得∠BPD或其補角為面直線EF與PD所成角，
∵Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2

2

，同理可得PD=BD=2

2

因此△PBD是邊長為2

2

的正三角形，∠BPD=60°
即異面直線EF與PD所成角的大小為60°．

點評：本題給出特殊四棱錐，求錐體的體積和異面直線所成角，著重考查了錐體體積公式和異面直線所成角求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．