Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)m＞0，對(duì)任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，則稱f（x）為F函數(shù)．給出下列函數(shù)：①f（x）=0； ②f（x）=x²； ③f（x）=sinx+cosx；④f（x）=

x

x2+x+1

； ⑤f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．其中是F函數(shù)的序號(hào)是（　　）

• A、①②④
• B、①②⑤
• C、①③④
• D、①④⑤

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題是一個(gè)新定義的題目，故依照定義的所給的規(guī)則對(duì)所四個(gè)函數(shù)進(jìn)行逐一驗(yàn)證，選出正確的即可．

解答： 解：對(duì)于①f（x）=0，顯然對(duì)任意常數(shù)m＞0，均成立，故f（x）為F函數(shù)；
對(duì)于②，|f（x）|＜m|x|，顯然不成立，故其不是F函數(shù)；
對(duì)于③，f（x）=sinx+cosx，由于x=0時(shí)，|f（x）|＜m|x|不成立，故不是F函數(shù)；
對(duì)于④，f（x）=

x

x2+x+1

，|f（x）|=

1

x2+x+1

•|x|≤

4

3

•|x|，故對(duì)任意的m＞

4

3

，都有|f（x）|＜m|x|，故其是F函數(shù)；
對(duì)于④，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|，令x₁=x，x₂=0，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，f（0）=0，故有|f（x）|＜2|x|．顯然是F函數(shù)
故是F函數(shù)的序號(hào)是①④⑤，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根據(jù)所給的新定義來驗(yàn)證函數(shù)是否滿足定義中的規(guī)則，是函數(shù)知識(shí)的給定應(yīng)用題，綜合性較強(qiáng)，做題時(shí)要注意運(yùn)用所深知識(shí)靈活變化進(jìn)行證明．