Question

給出下列命題：
①在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)y=x^-1，y=x 

1

2

，y=（x-1）²，y=x³中有三個(gè)是增函數(shù)；
②若log_m3＜log_n3＜0，則0＜n＜m＜1；
③若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)；
④已知函數(shù)f（x）=

3x-2，x≤2 log3(x-1)，x＞2

，則方程f（x）=

1

2

有2個(gè)實(shí)數(shù)根；
以上命題是真命題的是：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①利用冪函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可判斷函數(shù)y=x^-1，y=x 

1

2

，y=（x-1）²，y=x³在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
②利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可判斷②的正誤；
③利用奇函數(shù)則f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱(chēng)及平移變換可判斷③的正誤；
④利用分段函數(shù)的單調(diào)性與值域可判斷④的正誤．

解答： 解：①在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)y=x^-1，y=x 

1

2

，y=（x-1）²，y=x³中只有y=x 

1

2

與y=x³兩個(gè)為增函數(shù)，故①錯(cuò)誤；
②若log_m3＜log_n3＜0，則0＜m＜1，0＜n＜1，且m＞n，即0＜n＜m＜1，故②正確；
③函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱(chēng)；y=f（x-1）的圖象是把y=f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位，故f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，即③正確；
④當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=3^x-2∈（0，1]且為（-∞，1]上的增函數(shù)；
當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=log₃（x-1）＞0，且為（2，+∞）上的增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=

3x-2，x≤2 log3(x-1)，x＞2

與y=

1

2

有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=

1

2

有2個(gè)實(shí)數(shù)根，故④正確；
綜上所述，命題是真命題的是：②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分析、運(yùn)算能力，屬于中檔題．