Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-ax，x∈R．過(guò)圖象上一點(diǎn)斜率最小的切線平行于直線x+y=2．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）已知當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）-kf（x-1）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f（x）=x³-ax，x∈R，
∴f′（x）=3x²-a≥-a，
∴過(guò)圖象上一點(diǎn)斜率最小的切線的斜率k=-a，
∵過(guò)圖象上一點(diǎn)斜率最小的切線平行于直線x+y=2，
∴-a=-1，故a=1．
（2）∵a=1，∴f（x）=x³-x，f′（x）=3x²-1，
令f′（x）=3x²-1=0，得x=±

3

3

．
列表討論：

x	（-∞，- 3 3 ）	- 3 3	（- 3 3 ， 3 3 ）	3 3	（ 3 3 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

由表討論知：函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是 （-∞，-

3

3

）、（

3

3

，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-

3

3

，

3

3

）．
極大值f（-

3

3

）=-

3

9

+

3

3

=

2 3

9

，
極小值f（

3

3

）=

3

9

-

3

3

=-

2 3

9

．
（3）∵f（x）-kf（x-1）≥0，f（x）=x³-x，
∴k≤

f(x)

f(x-1)

=

x3-x

(x-1)3-(x-1)

=

x(x-1)(x+1)

x(x-1)(x-2)

=

x+1

x-2

=1+

3

x-2

，
∵x∈（1，+∞），
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，-2＜1+

3

x-2

＜1
當(dāng)x=-2時(shí)，1+

3

x-2

＜+∞，
當(dāng)x＞2時(shí)，1+

3

x-2

＞1
∴k≤-2．