橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)過點(0,
3
),且一個焦點為(-1,0).
(Ⅰ)求橢圓C 的方程;
(Ⅱ)自點P(m,0)引直線l交橢圓于A,B兩點,若
AP
PB
OA
OB
=3
OP
,其中O是坐標原點,試求m的 取值范圍.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(I)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)過點(0,
3
),且一個焦點為(-1,0).可得b=
3
,c=1,a2=b2+c2=4.解出即可.
(II)設A(x1,y1),B(x2,y2).利用
AP
PB
OA
OB
=3
OP
,可得(2-λ)
OP
=
0
,解得λ=2.可得
OP
=(
x1+2x2
3
y1+2y2
3
)
=(m,0).x1+2x2=3m,y1+2y2=0,代入
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1
,又
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1,可得x1=
3m2-4
2m
,利用x1∈[-2,2],解出即可.
解答: 解:(I)∵橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)過點(0,
3
),且一個焦點為(-1,0).
∴b=
3
,c=1,∴a2=b2+c2=4.
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(II)設A(x1,y1),B(x2,y2).∵
AP
PB
,∴
OP
-
OA
=λ
OB
OP
,又
OA
OB
=3
OP
,∴(2-λ)
OP
=
0
,∴λ=2.
OA
+2
OB
=3
OP
,可得
OP
=(
x1+2x2
3
,
y1+2y2
3
)
=(m,0).∴x1+2x2=3m,y1+2y2=0.
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1
,
(3m-x1)2
4
+
y
2
1
3
=4
,
又∵
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1,
x1=
3m2-4
2m
,
∵x1∈[-2,2],
-2≤
3m2-4
2m
≤2

m>0時,化為
3m2-4m-4≤0
3m2+4m-4≥0
,解得
2
3
≤m≤2
;
同理m<0,解得-2≤m≤-
2
3

綜上可得:m的取值范圍是[-2,-
2
3
]
[
2
3
,2]
點評:本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、點與橢圓的位置關系、向量的坐標運算、一元二次不等式組的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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3
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A、
1
4
B、
1
6
C、
2
5
D、
3
7

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2
3
,a32=81a4a6
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