Question

4．已知點P在曲線y=$\frac{4}{{e}^{x}+1}$上，a為曲線在點P處的傾斜角，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [0，$\frac{π}{4}$）
• B． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）
• C． （$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]
• D． [$\frac{3π}{4}$，π）

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)在切點處的值是曲線的切線斜率，再根據(jù)斜率等于傾斜角的正切值求出角的范圍．

解答 解：因為y=$\frac{4}{{e}^{x}+1}$上的導(dǎo)數(shù)為y′=-$\frac{4{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$=-$\frac{4}{{e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}+2}$，
∵e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}\frac{1}{{e}^{x}}}$=2，
∴e^x+e^-x+2≥4，
∴y′∈[-1，0）
即tanα∈[-1，0），
∵0≤α＜π
∴$\frac{3}{4}$π≤α＜π．
即α的取值范圍是[$\frac{3}{4}$π，π）．
故選：D

點評 本題主要考查直線的斜率關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的幾何意義．屬于基礎(chǔ)題．