Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)（）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）記函數(shù)的圖象為曲線.設(shè)點(diǎn),是曲線上的不同兩點(diǎn).

如果在曲線上存在點(diǎn)，使得：①；②曲線在點(diǎn)處的切線平行

于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”.試問：函數(shù)是否存在“中值相依切

線”，請說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：(Ⅰ)易知函數(shù)的定義域是，. …………1分 

①         當(dāng)時(shí)，即時(shí), 令,解得或;

  令,解得.……………2分

    所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

    ②當(dāng)時(shí)，即時(shí), 顯然，函數(shù)在上單調(diào)遞增；……………3分

    ③當(dāng)時(shí)，即時(shí), 令,解得或;

      令,解得.……………4分

    所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

綜上所述，

⑴當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；

⑵當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增；

⑶當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. ……………5分

(Ⅱ)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”.

   設(shè),是曲線上的不同兩點(diǎn)，且，

   則

       ……………7分

 

曲線在點(diǎn)處的切線斜率

，……………8分

依題意得：.

化簡可得： ，即=.  ……………10分

   設(shè) ()，上式化為：,   即.  ………………12分

  令,.

   因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052510595104683944/SYS201205251101566562683671_DA.files/image042.png">,顯然，所以在上遞增,顯然有恒成立.

   所以在內(nèi)不存在,使得成立.

 綜上所述，假設(shè)不成立.所以，函數(shù)不存在“中值相依切線”. ……………14分

 

【解析】略