如圖1,在△ABC中,BC=3,AC=6,∠C=90°,且DE∥BC,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥CD,如圖2.
精英家教網(wǎng)
(Ⅰ)求證:BC⊥平面A1DC;
(Ⅱ)若CD=2,求BE與平面A1BC所成角的正弦值.
分析:(I)由Rt△ABC中,∠C=90°且DE∥BC,證出A1D⊥DE.結(jié)合A1D⊥CD,可得A1D⊥面BCDE,從而得到A1D⊥BC.最后根據(jù)線面垂直判定定理,結(jié)合BC⊥CD可證出BC⊥面A1DC;
(II)以D為原點(diǎn),分別以
DE
,
DA1
,
CD
為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組,解出平面A1BC的一個(gè)法向量.根據(jù)空間向量的夾角公式和直線與平面所成角的性質(zhì),即可算出BE與平面A1BC所成角的正弦值.
解答:精英家教網(wǎng)(Ⅰ)證明:在△ABC中,∠C=90°,DE∥BC,
∴AD⊥DE∴A1D⊥DE.
又A1D⊥CD,CD∩DE=D,∴A1D⊥面BCDE.
由BC?面BCDE,
∴A1D⊥BC.BC⊥CD,A1D∩CD=D,
∴BC⊥面A1DC;
(2)解:以D為原點(diǎn),分別以
DE
DA1
,
CD
為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz            
在直角梯形CDEB中,過E作EF⊥BC,EF=2,BF=1,BC=3,
∴B(3,0,-2),E(2,0,0),C(0,0,-2),A1(0,4,0),
BE
=(-1,0,2)
,
CA1
=(0,4,2)
,
BA1
=(-3,4,2)
,
設(shè)平面A1BC的法向量為
m
=(x,y,z)
,由
CA
m
=0
BA
m
=0
,可得
4y+2z=0
-3x+4y+2z=0
,
z=-2y
x=0
,令y=1,∴
m
=(0,1,-2)

設(shè)BE與平面A1BC所成角為θ,∴sinθ=
|
BE
m
|
|
BE
||
m
|
=
4
5
5
=
4
5
點(diǎn)評(píng):本題在四棱錐中證明線面垂直,求直線與平面所成角的正弦值.著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、利用空間向量研究直線與平面所成角等知識(shí),屬于中檔題.
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AO
BC
的值是(  )

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圖1-9

A.△AED∽△ACB                         B.△AEB∽△ACD

C.△BAE∽△ACE                         D.△AEC∽△DAC

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如圖1,在△ABC中,點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn),直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),若點(diǎn)B,P在直線a的異側(cè),BM⊥直線a于點(diǎn)M.CN⊥直線a于點(diǎn)N,連接PM,PN.

(1)延長MP交CN于點(diǎn)E(如圖2).

①求證:△BPM≌△CPE;

②求證:PM=PN;

(2)若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),點(diǎn)B,P在直線a的同側(cè),其它條件不變,此時(shí)PM=PN還成立嗎?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說明理由;

(3)若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí),其它條件不變,請(qǐng)直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時(shí)PM=PN還成立嗎?不必說明理由.

 

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