Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=x³+f′（

2

3

）x²-x+c（其中c為常數(shù)）
（I）若方程f（x）=0有且只有兩個不等的實根，求常數(shù)c；
（II）在（I）的條件下，若f（-

1

3

）＞0，求函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）方程f（x）=0有且只有兩個不等的實根?函數(shù)f（x）有一個極值為0，另一個極值大于0 或小于0，即可求出；
（Ⅱ）先求出由在（I）的條件下滿足f（-

1

3

）＞0的c的值，進而利用定積分即可求出其面積．

解答：解：（Ⅰ）∵f^′（x）=3x2+2f′(

2

3

)x-1，∴f′(

2

3

)=3×(

2

3

)2+2×

2

3

×f′(

2

3

)-1，∴f′(

2

3

)=-1．
∴f（x）=x³-x²-x+c，f^′（x）=3x²-2x-1．
令f^′（x）=0，解得x=-

1

3

或1．列表如下：
由表格可知：當(dāng)x=-

1

3

時，函數(shù)f（x）取得極大值，
f(-

1

3

)=

5

27

+c；當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值，f（1）=c-1．
要使方程f（x）=0有且只有兩個不等的實根，
則必有f(-

1

3

)=0或f（1）=0，解得c=-

5

27

或1．
（2）當(dāng)c=1時，f(-

1

3

)=

5

27

+1＞0滿足f(-

1

3

)＞0．如圖所示：
函數(shù)f（x）的圖象與X軸圍成的封閉圖形的面積=

∫

1 -1

(x3-x2-x+1)dx
=(

x4

4

-

x3

3

-

x2

2

+x)

|

1 -1

=

4

3

．

點評：把問題正確等價轉(zhuǎn)化和熟練掌握利用微積分基本定理求面積是解題的關(guān)鍵．