Question

已知雙曲線x²-

y2

3

=1，且雙曲線上存在關(guān)于直線l：y=kx+4的對稱的兩點AB，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：假設(shè)雙曲線上存在關(guān)于直線l：y=kx+4的對稱的兩點A，B．當(dāng)k=0時，不滿足條件，舍去；當(dāng)k≠0時，直線AB的方程為y=-

1

k

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為M（x₀，y₀）．與雙曲線方程聯(lián)立可化為（3k²-1）x²+2mkx-（m²k²+3k²）=0，(k2≠

1

3

)．由于△＞0，化為m²k²+3k²＞1．（*）利用根與系數(shù)的關(guān)系與中點坐標(biāo)公式可得x₀，y₀，代入直線l：y=kx+4，可得m=

3k2-1

k2

，代入（*）解出即可．

解答： 解：假設(shè)雙曲線上存在關(guān)于直線l：y=kx+4的對稱的兩點A，B．
當(dāng)k=0時，不滿足條件，舍去；
當(dāng)k≠0時，直線AB的方程為y=-

1

k

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為M（x₀，y₀）．
聯(lián)立

x2- y2 3 =1 y=- 1 k x+m

，化為（3k²-1）x²+2mkx-（m²k²+3k²）=0，(k2≠

1

3

)．
△=4m²k²+4（3k²-1）（m²k²+3k²）＞0，
化為m²k²+3k²＞1．（*）
x₁+x₂=-

2mk

3k2-1

=2x₀，
∴x₀=-

mk

3k2-1

，y₀=

1

k

×

mk

3k2-1

+m=

3mk2

3k2-1

，
代入直線l：y=kx+4，可得

3mk2

3k2-1

=-

mk2

3k2-1

+4，
化為m=

3k2-1

k2

，代入（*）可得k2[(

3k2-1

k2

)2+3]＞1，
整理為12k⁴-7k²+1＞0，
解得k2＞

1

3

或k2＜

1

4

．（k≠0）．
解得k＞

3

3

，或k＜-

3

3

，或-

1

2

＜k＜

1

2

且k≠0．
綜上可得：k的取值范圍是k＞

3

3

，或k＜-

3

3

，或-

1

2

＜k＜

1

2

且k≠0．

點評：本題考查了雙曲線上存在關(guān)于已知直線對稱點的問題、直線與雙曲線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)關(guān)系、線段的垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．