Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2mcos²（x）-2

3

msinxcosx+n（m＞0）的定義域?yàn)閇0，

π

2

]，值域?yàn)閇1，4]，求f（x）在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：化簡(jiǎn)可得f（x）=2mcos（2x+

π

3

）+m+n，由題意可得-2m+m+n=1，2m•

1

2

+m+n=4，解方程可得f（x）=2cos（2x+

π

3

）+3，由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答： 解：化簡(jiǎn)可得f（x）=2mcos²（x）-2

3

msinxcosx+n
=m（1+cos2x）-

3

msin2x+n
=2mcos（2x+

π

3

）+m+n，
∵m＞0，x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴cos（2x+

π

3

）∈[-1，

1

2

]，
∵函數(shù)在[0，

π

2

]的值域?yàn)閇1，4]，
∴-2m+m+n=1，2m•

1

2

+m+n=4，
解得m=1，n=2，∴f（x）=2cos（2x+

π

3

）+3，
由2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π可解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，

π

3

]和[

5π

6

，π]，
單調(diào)遞增區(qū)間為[

π

3

，

5π

6

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和值域，屬中檔題．