Question

18．已知函數(shù)f（x）=|cosx|•sinx，給出下列四個(gè)說(shuō)法：
①$f（\frac{2014π}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$；
②函數(shù)f（x）的周期為π；
③f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上單調(diào)遞增；
④f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（-\frac{π}{2}，0）$中心對(duì)稱(chēng)
其中正確說(shuō)法的序號(hào)是（　�。�

• A． ②③
• B． ①③
• C． ①④
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①計(jì)算f（$\frac{2014π}{3}$）的值即可；
②計(jì)算f（$\frac{π}{4}$）與f（$\frac{5π}{4}$）的值，由$f（\frac{π}{4}）≠f（\frac{5π}{4}）$判斷②錯(cuò)誤；
③$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$時(shí)f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x，f（x）是單調(diào)增函數(shù)；
④計(jì)算f（-$\frac{π}{4}$）與f（-$\frac{3π}{4}$）的值，由$f（-\frac{π}{4}）≠-f（-\frac{3π}{4}）$判斷④錯(cuò)誤．

解答 解：對(duì)于①，f（$\frac{2014π}{3}$）=f（671π+$\frac{π}{3}$）=-cos$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，正確；
對(duì)于②，因?yàn)閒（$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}$，
f（$\frac{5π}{4}$）=-cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{4}$=-$\frac{1}{2}$，
$f（\frac{π}{4}）≠f（\frac{5π}{4}）$，所以②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，當(dāng)$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$時(shí)，$f（x）=|cosx|•sinx=\frac{1}{2}sin2x$，
f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上單調(diào)遞增，正確；
對(duì)于④，f（-$\frac{π}{4}$）=-cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{4}$=-$\frac{1}{2}$，
f（-$\frac{3π}{4}$）=-cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{4}$=-$\frac{1}{2}$，
則$f（-\frac{π}{4}）≠-f（-\frac{3π}{4}）$，
所以f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（-\frac{π}{2}，0）$中心對(duì)稱(chēng)，錯(cuò)誤；
綜上，正確的命題序號(hào)是①③．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．