Question

已知函數f(x)=

x

x2+1

．
（1）求出函數y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）當x∈(-

3

4

，+∞)時，證明函數y=f（x）圖象在點(

1

3

，

3

10

)處切線的下方；
（3）利用（2）的結論證明下列不等式：“已知a，b，c∈(-

3

4

，+∞)，且a+b+c=1，證明：

a

a2+1

+

b

b2+1

+

c

c2+1

≤

9

10

”；
（4）已知a₁，a₂，…，a_n是正數，且a₁+a₂+…+a_n=1，借助（3）的證明猜想

n

k=1

ak

a 2 k +1

的最大值．（只指出正確結論，不要求證明）

Answer 1

分析：（1）求函數的單調區(qū)間，常用導數法，可以先對函數求導，利用導數大于0解出函數增區(qū)間，用導數小于0解出函數的減區(qū)間；
（2）先求出點(

1

3

，

3

10

)處切線的方程，再通過比較-

3

4

＜x＜+∞時兩函數函數值的大小證明；
（3）由（2）

x

x2+1

≤

36x+3

50

，得

a

a2+1

≤

36a+3

50

，

b

b2+1

≤

36b+3

50

，

c

c2+1

≤

36c+3

50

，將三式相加即可證得不等式．
（4）由（3）的證明結論總結規(guī)律，寫出符合規(guī)律的猜想：

n

k=1

ak

a 2 k +1

的最大值是

n2

n2+1

．

解答：解：（1）f（x）=

x

x2+1

的定義域是（-∞，+∞），因為f'（x）=

1-x2

(x2+1)2

，所以f（x）在（-∞，-1]上單調遞減，在[-1，1]上單調遞增，在[1，+∞）上單調遞減．…（4分）
（2）y=f（x）的圖象在點（x₀，f（x₀））處的切線方程為y-

x0

1+ x 0 2

=

1- x 2 0

(1+ x 2 0 )2

(x-x0)
當x₀=

1

3

時，函數在點（

1

3

，

3

10

）處的切線方程是y-

3

10

=

18

25

（x-

1

3

），即y=

36x+3

50

 …（7分）
要證當-

3

4

＜x＜+∞時，證明函數圖象在點（

1

3

，

3

10

）處切線的下方，只需證明

x

x2+1

≤

36x+3

50

，成立． 這等價于證明（3x-1）²（4 x+3）≥0，這是顯然的．…（10分）
（3）由（2）

x

x2+1

≤

36x+3

50

，知

a

a2+1

≤

36a+3

50

，

b

b2+1

≤

36b+3

50

，

c

c2+1

≤

36c+3

50

．
將三個不等式相加得

a

a2+1

+

b

b2+1

+

c

c2+1

≤

9

10

．…（13分）
（4）由（3）：“已知a，b，c∈(-

3

4

，+∞)，且a+b+c=1，必有

a

a2+1

+

b

b2+1

+

c

c2+1

≤

9

10

”；不等式左邊是三個式子的和，分母都是分子的平方加1，不等式右邊是個分數，分子是3的平方，而分母是3的平方加1，3正好對應a，b，c數個個數3，
又a₁，a₂，…，a_n是正數，且a₁+a₂+…+a_n=1，故可猜想

n

k=1

ak

a 2 k +1

的最大值是

n2

n2+1

．…（16分）

點評：本題考查不等式的證明，恒等式的證明，函數的單調區(qū)間的求法，本題綜合性強運算量大，且證明方法新穎，考查判斷推理的能力，解題的關鍵是能根據題設中的條件與要證的結論分析出恰當的證明方法．