Question

（本小題滿分13分）設函數(shù)有兩個極值點,且．

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若對任意的,都有成立,求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；（3）實數(shù)的取值范圍為．

【解析】

試題分析：（1）求實數(shù)的取值范圍，先確定函數(shù)的定義域為，然后求導數(shù)，令，由題意知是方程的兩個均大于的不相等的實根，建立不等關(guān)系解之即可；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和，求出單調(diào)區(qū)間；（3）若對任意的,都有成立,求實數(shù)的取值范圍，是方程的根，將用表示，消去得到關(guān)于的函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，即可求的取值范圍．

試題解析：（1）由可得．

令,則其對稱軸為,故由題意可知是方程的兩個均大于的不相等的實數(shù)根,其充要條件為,

解得． 4分

（2）由（1）可知,其中,故

①當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞增；

②當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞減；

③當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞增． 8分

（3）由（2）可知在區(qū)間上的最小值為．

又由于,因此．又由

可得,從而．

設,其中,

則．

由知:,,故,故在上單調(diào)遞增．

所以,．

所以,實數(shù)的取值范圍為． 13分

考點：函數(shù)極值，函數(shù)單調(diào)性，恒成立問題．