Question

20．如圖，ABCD是圓O的內(nèi)接正方形，E是劣弧CD上一點，EA交BD于F，EB交AC于G，且GF⊥AE．
（1）求證：AF•AE=AO•AC；
（2）求證：$\frac{{2A{O^2}}}{{A{F^2}}}-\frac{FG}{AF}=1$．

Answer 1

分析 （1）連接CE，由題意可知∠AOF=90°，由AC為圓的直徑，∠AEC=90°，因此△AOF∽△AEC，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，$\frac{AF}{AO}$=$\frac{AC}{AE}$，可知：AF•AE=AO•AC；
（2）設(shè)∠GOF=θ，⊙O的半徑為1，則EC=2，分別求得AF和FG，在Rt△PMN中，∠AEB=∠FEG=∠ADB=45°，EF=FG，AF+FE=AE，整理得：1+tanθ=2cos²θ，由cosθ=$\frac{AO}{AF}$，tanθ=$\frac{FG}{AF}$，即可證明$\frac{{2A{O^2}}}{{A{F^2}}}-\frac{FG}{AF}=1$．

解答 解：（1）證明：連接CE，
∵ABCD是圓O的內(nèi)接正方形，AC和BD為三角形的對角線，
∴AC⊥BD，
∴∠AOF=90°，
由AC為圓的直徑，
∴∠AEC=90°，
∴△AOF∽△AEC，
∴$\frac{AF}{AO}$=$\frac{AC}{AE}$，
∴AF•AE=AO•AC；
（2）證明：設(shè)∠GOF=θ，⊙O的半徑為1，則EC=2，AE=AC•cosθ=2cosθ，
AF=$\frac{AO}{cosθ}$=$\frac{1}{cosθ}$，
FG=AF•tanθ=$\frac{tanθ}{cosθ}$，
在Rt△PMN中，∠AEB=∠FEG=∠ADB=45°，
∴EF=FG，
∵AF+FE=AE，
∴$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{tanθ}{cosθ}$=2cosθ，
∴1+tanθ=2cos²θ，
∴2cos²θ-tanθ=1，
在RT△AOF中，cosθ=$\frac{AO}{AF}$，
在RT△AFG中，tanθ=$\frac{FG}{AF}$，
∴$\frac{{2A{O^2}}}{{A{F^2}}}-\frac{FG}{AF}=1$．

點評 本題考查圓方程的綜合應(yīng)用，考查正方形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．