Question

10．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的右頂點為A，上頂點為B，且$|{AB}|=\sqrt{3}$，橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓E相交于C，D兩個不同的點，且坐標原點O到直線l的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求證：$\overline{OC}•\overline{OD}=0$．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的幾何性質(zhì)可知，$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$及a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）由點到直線的距離公式可知，d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求得3m²=2（1+k²），將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理及直線方程求得x₁•x₂和y₁y₂，由向量數(shù)量積的坐標表示$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=x₁•x₂+y₁y₂=0

解答 解：（1）由題意可知：$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由橢圓的性質(zhì)可知：a²=b²+c²，
求得：b²=2，b²=1，
橢圓E的標準方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：由點O到直線l的距離d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴3m²=2（1+k²），
直線l：y=kx+m代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，整理得：（1+2k²）x²+4kmx+2t²-2=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2t²-2）=16k²-8m²+8＞0，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²，
=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=x₁•x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{3{m}^{2}-2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2（1+{k}^{2}）-2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=0，

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，點到直線的距離公式，韋達定理及向量數(shù)量積的坐標表示的綜合運用，考查計算能力，屬于中檔題．