Question

13．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$，求證：數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 把數(shù)列的和變形，由2a_n+1=2S_n+1-2S_n得到a_n+2+a_n=2a_n+1，由等差中項的概念得答案．

解答 證明：由S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$，得2S_n=n（a₁+a_n），
∴2a_n+1=2S_n+1-2S_n=（n+1）（a₁+a_n+1）-n（a₁+a_n）
即（n-1）a_n+1=na_n-a₁，
∴na_n+2=（n+1）a_n+1-a₁，
兩式相減得na_n+2+na_n=2na_n+1，
∴a_n+2+a_n=2a_n+1．
∴數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列．

點評 本題考查了等差數(shù)列的前n項和，考查了利用等差中項的概念判定數(shù)列為等差數(shù)列，是基礎(chǔ)題．