Question

6．數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₃=9a₁，且對n∈N₊，點（n，a_n）恒在直線f（x）=2x+k上，其中k為常數(shù)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由點（n，a_n）恒在直線f（x）=2x+k上，得a_n=2n+k，結合S₃=9a₁列式求得k值，則數(shù)列的通項公式可求；
（2）把數(shù)列的通項公式代入$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，然后利用裂項相消法求數(shù)列的和T_n．

解答 解：（1）由點（n，a_n）恒在直線f（x）=2x+k上，得a_n=2n+k，
又S₃=9a₁，得a₁+a₂+a₃=9a₁，
∴2+k+4+k+6+k=9（2+k），解得k=-1．
∴a_n=2n-1；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
T_n=$\frac{1}{2}$（$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（$1-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)列遞推式，訓練了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．