Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|-|2x+1|的最大值為m．
（1）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）若a²+2c²+3b²=m，求ab+2bc的最大值．

Answer 1

分析 （1）分類討論，作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）求出函數(shù)的值域，即可求m的值，利用基本不等式求ab+2bc的最大值．

解答 解：（1）當(dāng)x≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=（1-x）+2x+1=x+2；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x＜1時(shí)，f（x）=（1-x）-2x-1=-3x：
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=（x-1）-2x-1=-x-2，
函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示
；
（2）由題意，當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值m=1.5，∴a²+2c²+3b²=1.5，
∴ab+2bc≤$\frac{1}{2}$（a²+2c²+3b²）=$\frac{3}{4}$，即ab+2bc的最大值為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．