Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線${y^2}=8\sqrt{2}x$的焦點(diǎn)相同，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)．M為橢圓上任意一點(diǎn)，△MF₁F₂面積的最大值為4$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C上的任意一點(diǎn)N（x₀，y₀），從原點(diǎn)O向圓N：（x-x₀）²+（y-y₀）²=3作兩條切線，分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)．試探究|OA|²+|OB|²是否為定值，若是，求出其值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點(diǎn)，可得c，再由當(dāng)M位于橢圓短軸端點(diǎn)處△MF₁F₂面積取得最大值．可得b，由a，b，c的關(guān)系求得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線OA：y=k₁x，OB：y=k₂x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)過(guò)原點(diǎn)圓（x-x₀）²+（y-y₀）²=3的切線方程為y=kx，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，聯(lián)立直線OA、OB方程和橢圓方程，求得A，B的坐標(biāo)，運(yùn)用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)整理，即可得到定值．

解答 解：（1）拋物線${y^2}=8\sqrt{2}x$的焦點(diǎn)為（2$\sqrt{2}$，0），
由題意可得c=2$\sqrt{2}$，
△MF₁F₂面積的最大值為4$\sqrt{2}$，可得當(dāng)M位于橢圓短軸端點(diǎn)處取得最大值．
即有$\frac{1}{2}$b•2c=4$\sqrt{2}$，解得b=2，a²=b²+c²=4+8=12，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；                       
（2）證明：設(shè)直線OA：y=k₁x，OB：y=k₂x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)過(guò)原點(diǎn)圓（x-x₀）²+（y-y₀）²=3的切線方程為y=kx，
則有$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，整理得（x₀²-3）k²-2x₀y₀k+y₀²-3=0，
即有k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-3}$，k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-3}{{{x}_{0}}^{2}-3}$，
又因?yàn)?\frac{{{x}_{0}}^{2}}{12}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，所以可求得k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-3}{12-3{{y}_{0}}^{2}-3}$=-$\frac{1}{3}$，
將y=k₁x代入橢圓方程x²+3y²=12，
得x₁²=$\frac{12}{1+3{{k}_{1}}^{2}}$，則y₁²=$\frac{12{{k}_{1}}^{2}}{1+3{{k}_{1}}^{2}}$，
同理可得x₂²=$\frac{12}{1+3{{k}_{2}}^{2}}$，y₂²=$\frac{12{{k}_{2}}^{2}}{1+3{{k}_{2}}^{2}}$，
所以|OA|²+|OB|²=$\frac{12（1+{{k}_{1}}^{2}）}{1+3{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{12（1+{{k}_{2}}^{2}）}{1+3{{k}_{2}}^{2}}$
=$\frac{12（1+{{k}_{1}}^{2}）（1+3{{k}_{2}}^{2}）+12（1+{{k}_{2}}^{2}）（1+3{{k}_{1}}^{2}）}{（1+3{{k}_{1}}^{2}）（1+3{{k}_{2}}^{2}）}$
=$\frac{16[2+3（{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}）]}{2+3（{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}）}$=16．
所以|OA|²+|OB|²的值為定值16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的運(yùn)用，以及直線和圓相切的條件，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．