Question

已知直線l：2x-3y+1=0，點(diǎn)A（-1，-2）．求：
（1）點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
（2）直線m：3x-2y-6=0關(guān)于直線l對(duì)稱的直線m′的方程；
（3）直線l關(guān)于點(diǎn)A（-1，-2）對(duì)稱的直線l′的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)斜率，中點(diǎn)關(guān)系，得出

y0+2 x0+1 =- 3 2 2× x0-1 2 -3× y0-2 2 +1=0

求解即可．
（2）利用夾角公式求解直線的對(duì)稱問題，

|k- 2 3 |

|1+ 2 3 k|

=

| 3 2 - 2 3 |

|1+ 3 2 × 2 3 |

解得：k=

3

2

（舍去）k=

9

46

，
（3）利用直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱的直線上的點(diǎn)的關(guān)系求解．

解答： 解：（1）點(diǎn)A（-1，-2）．點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∵直線l：2x-3y+1=0，
∴

y0+2 x0+1 =- 3 2 2× x0-1 2 -3× y0-2 2 +1=0

x₀=-3，y₀=1，
（2）

2x-3y+1=0 3x-2y-6=0

解得：x=4，y=3，
直線l，m的交點(diǎn)為（4，3），
設(shè)m的斜率為k，

|k- 2 3 |

|1+ 2 3 k|

=

| 3 2 - 2 3 |

|1+ 3 2 × 2 3 |

解得：k₁=

3

2

（舍去），k₂=

9

46

，
直線m′的方程為：y-3=

9

46

（x-4），
即：9x-46y-162=0
（3）設(shè)直線l關(guān)于點(diǎn)A（-1，-2）對(duì)稱的直線l′上的點(diǎn)的坐標(biāo)為N（x，y）．
∴N（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（-1，-2）對(duì)稱點(diǎn)為N′（-2-x，-4-y）
∴N′（-2-x，-4-y）在直線l：2x-3y+1=0上，
代入直線方程得：直線l′的方程為：2x-3y-9=0，

點(diǎn)評(píng)：本題考察了直線 點(diǎn)的對(duì)稱問題，屬于中檔題，計(jì)算量大，做題要認(rèn)真．