Question

10．某學(xué)習(xí)小組20名學(xué)生一次數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）頻率直方圖如圖所示，已知前三個(gè)矩形框垂直于橫軸的高度成等差數(shù)列．
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）分別求出成績(jī)落在[50，60）與[80，90）中的學(xué)生人數(shù)；
（3）從成績(jī)?cè)赱50，60）與[80，90）中的學(xué)生中人選2人，求此2人的成績(jī)相差20分以上的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知前三個(gè)長(zhǎng)方形的高成等差數(shù)列知，第三個(gè)長(zhǎng)方形的高為8a，再由頻率分布直方圖能求出a．
（2）由頻率分布直方圖，能求出成績(jī)落在[50，60）與[80，90）中的學(xué)生人數(shù)．
（3）記成績(jī)落在 中的2人為A₁，A₂，成績(jī)落在 中的3人為B₁，B₂，B₃，利用列舉法能求出這2人的成績(jī)相差20分以上的概率．

解答 解：（1）由已知前三個(gè)長(zhǎng)方形的高成等差數(shù)列知，第三個(gè)長(zhǎng)方形的高為8a，
于是由頻率分布直方圖得（2a+5a+8a+3a+2a）×10=1，解得a═0.005．…（2分）
（2）由頻率分布直方圖，知：
成績(jī)落在[50，60）中的學(xué)生人數(shù)為2×0.005×10×20=2，
成績(jī)落在[80，90）中的學(xué)生人數(shù)為3×0.005×10×20=3．…（4分）
（3）記成績(jī)落在 中的2人為A₁，A₂，成績(jī)落在 中的3人為B₁，B₂，B₃，
則從成績(jī)?cè)?nbsp;與 中任選2人的基本事件共有10個(gè)：
（A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），
（A₂，B₂），（A₂，B₃），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₂，B₃），…（7分）
其中2人的成績(jī)相差20分以上的基本事件有6個(gè)：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），
故這2人的成績(jī)相差20分以上的概率P=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列、頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．