Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-3x，函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）的極小值；
（III）設(shè)斜率為k的直線與函數(shù)f（x）的圖象交于兩A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂），證明：$\frac{1}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1}{{x}_{1}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線方程求出a的值即可；
（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)g（x）的極小值即可；
（Ⅲ）法一：表示出k，問題轉(zhuǎn)化為即證$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_2}＜ln\frac{x_2}{x_1}＜\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_1}$，令$\frac{x_2}{x_1}=t$（t＞1），即證$1-\frac{1}{t}＜lnt＜t-1$（t＞1），令k（t）=lnt-t+1（t＞1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；法二：依題意得$k=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}⇒ln{x_2}-k{x_2}=ln{x_1}-k{x_1}$，令h（x）=lnx-kx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意得g（x）=lnx+ax²-3x，則$g'（x）=\frac{1}{x}+2ax-3$
由函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸得：
g'（1）=1+2a-3=0∴a=1（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$g'（x）=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$
∵函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），令g'（x）=0得$x=\frac{1}{2}$或x=1
函數(shù)g（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{2}，1）$單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故函數(shù)g（x）的極小值為g（1）=-2（8分）
（ III）證法一：依題意得$k=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$，
要證$\frac{1}{x_2}＜k＜\frac{1}{x_1}$，即證$\frac{1}{x_2}＜\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}＜\frac{1}{x_1}$
因x₂-x₁＞0，即證$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_2}＜ln\frac{x_2}{x_1}＜\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_1}$
令$\frac{x_2}{x_1}=t$（t＞1），即證$1-\frac{1}{t}＜lnt＜t-1$（t＞1）（9分）
令k（t）=lnt-t+1（t＞1）則$k'（t）=\frac{1}{t}-1＜0$
∴k（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，（10分）
∴k（t）＜k（1）=0即lnt-t+1＜0，∴l(xiāng)nt＜t-1--------------①
令$h（t）=lnt+\frac{1}{t}-1$（t＞1）則$h'（t）=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}=\frac{t-1}{t^2}$＞0
∴h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，（11分）
∴h（t）＞h（1）=0，即$lnt＞1-\frac{1}{t}$（t＞1）--------------②
綜①②得$1-\frac{1}{t}＜lnt＜t-1$（t＞1），即$\frac{1}{x_2}＜k＜\frac{1}{x_1}$．（12分）
證法二：依題意得$k=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}⇒ln{x_2}-k{x_2}=ln{x_1}-k{x_1}$，
令h（x）=lnx-kx，則$h'（x）=\frac{1}{x}-k$，
由h'（x）=0得$x=\frac{1}{k}$，當(dāng)$x＞\frac{1}{k}$時(shí)，h'（x）＜0，當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{k}$時(shí)，h'（x）＞0，
∴h（x）在$（0，\frac{1}{k}）$單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{k}，+∞）$單調(diào)遞減，又h（x₁）=h（x₂），
∴${x_1}＜\frac{1}{k}＜{x_2}$，即$\frac{1}{x_2}＜k＜\frac{1}{x_1}$（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題、考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查不等式的證明，是一道綜合題．