Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$）（x∈[0，$\frac{9π}{8}$]），若方程f（x）=a恰好有三個(gè)根，分別為x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），則x₁+x₂+x₃的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{9π}{8}$，$\frac{5π}{4}$）
• B． [$\frac{5π}{4}$，$\frac{11π}{8}$）
• C． [$\frac{3π}{2}$，$\frac{13π}{8}$）
• D． [$\frac{7π}{4}$，$\frac{15π}{8}$）

Answer 1

分析 由x∈[0，$\frac{9π}{8}$]求出2x+$\frac{π}{4}$的范圍，由正弦函數(shù)的圖象畫出函數(shù)的大致圖象，由函數(shù)的圖象，以及正弦圖象的對稱軸求出x₁+x₂的值，判斷出x₃的范圍，即可求出x₁+x₂+x₃的取值范圍．

解答 解：由題意x∈[0，$\frac{9π}{8}$]，則2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{2}$]，
畫出函數(shù)的大致圖象：
由圖得，當(dāng)$\frac{\sqrt{2}}{2}≤a＜1$ 時(shí)，方程f（x）=a恰好有三個(gè)根，
由2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$得x=$\frac{π}{8}$，由2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$得x=$\frac{5π}{8}$，
由圖知，點(diǎn)（x₁，0）與點(diǎn)（x₂，0）關(guān)于直線$x=\frac{π}{8}$對稱，
點(diǎn)（x₂，0）與點(diǎn)（x₃，0）關(guān)于直線$x=\frac{5π}{8}$對稱，
∴x₁+x₂=$\frac{π}{4}$，π≤x₃＜$\frac{9π}{8}$，則$\frac{5π}{4}≤$ x₁+x₂+x₃＜$\frac{11π}{8}$，
即x₁+x₂+x₃的取值范圍是$[\frac{5π}{4}，\frac{11π}{8}）$，
故選B．

點(diǎn)評 本題考查正弦函數(shù)的圖象，以及正弦函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用，考查整體思想，數(shù)形結(jié)合思想．