Question

設(shè)集合P={1，2，3，4，5}，對任意k∈P和正整數(shù)m，記f(m，k)=，其中[a]表示不大于a的最大整數(shù)。求證：對任意正整數(shù)n，存在k∈P和正整數(shù)m，使得f(m，k)=n。

Answer 1

證明略

證明：定義集合A={|m∈N*，k∈P}，其中N*為正整數(shù)集。由于對任意k、i∈P且k≠i，是無理數(shù)，則對任意的k₁、k₂∈P和正整數(shù)m₁、m₂，當(dāng)且僅當(dāng)m₁=m₂，k₁=k₂。由于A是一個無窮集，現(xiàn)將A中的元素按從小到大的順序排成一個無窮數(shù)列。對于任意的正整數(shù)n，設(shè)此數(shù)列中第n項(xiàng)為。下面確定n與m、k的關(guān)系。若，則。由m₁是正整數(shù)可知，對i=1，2，3，4，5，滿足這個條件的m₁的個數(shù)為。從而n==f(m，k)。因此對任意n∈N*，存在m∈N*，k∈P，使得f(m，k)=n。