Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+ax+b（a＞0），關于x的不等式f（x）≥c的解集為A．
（1）若f（1）=c=0，求集合A；
（2）若A=（-∞，m]∪[m+4，+∞），且f（x）的值域為[0，+∞），求

c

a

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）將1代入可得2a+b=0，進而可將不等式f（x）≥c可化為f（x）=a（x+2）（x-1）≥0，解得集合A；
（2）由A=（-∞，m]∪[m+4，+∞），且f（x）的值域為[0，+∞），可構造關于a，b，c的方程組，分類討論可得

c

a

的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+ax+b，
∴f（1）=2a+b=c=0，
故不等式f（x）≥c可化為f（x）=a（x+2）（x-1）≥0，
又∵a＞0，
∴A=（-∞，-2]∪[1，+∞）
（2）f（x）≥c化簡得ax²+ax+b-c≥0，
若A=（-∞，m]∪[m+4，+∞），
則m和m+4是方程ax²+ax+b-c=0的兩個根，
由韋達定理得，
m+m+4=-1，
解得：m=-

5

2

，
m•（m+4）=

b-c

a

=-

15

4

…（1），
由f（x）的值域是[0，+∞）得，
最小值

4ab-b2

4a

=0，即b（4a-b）=0…（2），
若b=0，則

c

a

=

15

4

，
若4a-b=0，

c

a

=

31

4

．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質，二次不等式的解法，難度不大，屬于中檔題．