Question

已知f（x）是奇函數(shù)，且有f（x+1）=-

1

f(x)

，當x∈（0，

1

2

）時，f（x）=8^x，
（1）求f（-

1

3

），f（

2

3

），f（

5

3

）的值；
（2）當

1

2

＜x＜1時，求f（x）的解析式；并求證T=2為函數(shù)f（x）的一個周期；
（3）是否存在k∈N^*，使2k+

1

2

＜x＜2k+1時，不等式log₈f（x）＞x²-（k+3）x-k+2有解？若存在，求出k的值及對應的不等式的解；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：本題（1）利用條件將自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間（0，

1

2

），然后利用f（x）=8^x求值，得到本題結(jié)論；（2）利用條件將

1

2

＜x＜1轉(zhuǎn)化到（0，

1

2

），利用f（x）=8^x代計算，得到本題結(jié)論；（3）根據(jù)函數(shù)周期性，求出f（x）的解析式，再結(jié)合條件k∈N^*，使2k+

1

2

＜x＜2k+1，分類討論，求出x的范圍，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）．
∵f（x+1）=-

1

f(x)

，當x∈（0，

1

2

）時，f（x）=8^x，
∴f（-

1

3

）=-f（

1

3

）=-8 

1

3

=-2，
f（

2

3

）=f（-

1

3

+1）=-

1

f(- 1 3 )

=

1

f( 1 3 )

=

1

8 1 3

=

1

2

，
f（

5

3

）=f（1+

2

3

）=-

1

f( 2 3 )

=-

1

1 2

=-2，
∴f（-

1

3

=-2，f（

2

3

）=

1

2

，f（

5

3

）=-2．
（2）∵f（x+1）=-

1

f(x)

，
∴f（x+2）=-

1

f(x+1)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），
∴T=2為函數(shù)f（x）的一個周期．
當x∈（

1

2

，1）時，1-x∈（0，

1

2

），
f（x）=-f（-x）=-[-

1

f(-x+1)

]=

1

f(1-x)

=8^x-1．
∴當x∈（

1

2

，1）時，f（x=8^x-1．
（3）∵2k+

1

2

＜x＜2k+1，
∴f（x）=8^x-2k-1，
∵不等式log₈f（x）＞x²-（k+3）x-k+2，
∴x-2k-1＞x²-（k+3）x-k+2，
∴x²-（k+4）x+k+3＜0，
∴1＜x＜k+3，
∵k∈N^*，使2k+

1

2

＜x＜2k+1，
經(jīng)驗算可得：
①當k=1時，

5

2

＜x＜3；
②當k=2時，

9

2

＜x＜5，
③當k＞2時，不等式無解．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性和解一元二次不等式，還考查了分類討論的數(shù)學思想，本題難度適中，屬于中檔題．