Question

3．已知函數(shù)f（x）=ln（x-a）+ax，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 先求導，再分類討論，當a≥0時，和a＜0時，分別利用導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極值；

解答 解：（1）∵f（x）=ln（x-a）+ax，
∴函數(shù)f（x）的定義域為（a，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x-a}+a$=$\frac{ax-{a}^{2}+1}{x-a}$
當a≥0時，f′（x）＞0，函數(shù)在（a，+∞）為增函數(shù)，無極值
當a＜0時，令f′（x）=0，解得x=a-$\frac{1}{a}$＞a
當f′（x）＞0時，解得a＜x＜a-$\frac{1}{a}$，函數(shù)為增函數(shù)，
當f′（x）＜0時，解得x＞a-$\frac{1}{a}$，函數(shù)為減函數(shù)，
故當x=a-$\frac{1}{a}$，函數(shù)f（x）有極大值，極大值為f（a-$\frac{1}{a}$）=ln（-$\frac{1}{a}$）+a²-1，
綜上所述，當a≥0時，函數(shù)f（x）在（-a，+∞）為增函數(shù)，無極值，
當a＜0時，函數(shù)f（x）在（a，a-$\frac{1}{a}$）為增函數(shù)，在（a-$\frac{1}{a}$，+∞）函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)f（x）有極大值，極大值為ln（-$\frac{1}{a}$）+a²-1．

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和極值的關系，對參數(shù)的分類討論問題．