Question

如圖，A為橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，弦AB、AC分別過焦點(diǎn)F₁、F₂，當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，恰好有AF₁∶AF₂＝3∶1．

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)設(shè)．

①當(dāng)A點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，求λ₁＋λ₂的值；

②當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)時(shí)，試判斷是λ₁＋λ₂否為定值？若是，請證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解(Ⅰ)設(shè)，則．由題設(shè)及橢圓定義得

　　，消去得，所以離心率．3分

　　(Ⅱ)解法一：由(1)知，，所以橢圓方程可化為．

　�、佼�(dāng)A點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，，直線的方程為．

　　由得　，解得，

　　∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

　　又，所以，，所以，．6分

　　②當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)時(shí)，為定值6．

　　證明　設(shè)，，則．

　　若為橢圓的長軸端點(diǎn)，則或，

　　所以．8分

　　若為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則由得，，所以．

　　又直線的方程為，所以由得

．

　　，

　　∴．

　　由韋達(dá)定理得　，所以．同理．

　　∴．

　　綜上證得，當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)時(shí)，為定值6．14分

　　解法二：設(shè)，，則

　　∵，∴；………………8分

　　又①，②，將、代入②得：

　　即③；

　�、�①得：；……………12分

　　同理：由得，∴，∴．…14分