Question

如圖，已知A是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，弦AB過點(diǎn)F₂，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，恰好有|AF₁|=3|AF₂|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)P是橢圓的左頂點(diǎn)，PA，PB分別與橢圓右準(zhǔn)線交與M，N兩點(diǎn)，求證：以MN為直徑的圓D一定經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中AB⊥x軸時(shí)恰有|AF₁|=3|AF₂|．結(jié)合橢圓的定義，可得，進(jìn)而求出橢圓的離心率；
（2）由（1）可設(shè)橢圓方程為x²+2y²=2b²，其右準(zhǔn)線方程為x=2b，分AB⊥x軸時(shí)和AB斜率存在時(shí)兩種情況分別判斷F₂與MN為直徑的圓D的關(guān)系，即可得到答案．
解答：解：（1）由條件可得，
解得…．（3分）
證明：（2）由（1）可設(shè)橢圓方程為x²+2y²=2b²，其右準(zhǔn)線方程為x=2b，
①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，易得，
由三點(diǎn)共線可得M（2b，b），N（2b，-b）
則圓D的方程為（x-2b）（x-2b）+（y-b）（y+b）=0，
即（x-2b）²+y²=b²
易得圓過定點(diǎn)F₂（b，0）…（6分）
②當(dāng)AB斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx-kb，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
把直線方程代入橢圓方程得：（1+2k²）x²-4k²bx+（2k²-2）b²=0∴，
故直線AP的方程為，
令x=2b得，同理可得…（9分）
∴，•=
所以F₂在以MN為直徑的圓D上，
綜上，以MN為直徑的圓D一定經(jīng)過定點(diǎn)F₂（b，0）…．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，橢圓的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，綜合性強(qiáng)，難度較大．