Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x．
（1）求曲線y=f（x）在x=t處的切線方程；
（2）若在x軸的正半軸上存在一點(diǎn)P（a，0），過點(diǎn)P可作曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式寫出切線方程；
（2）如果存在一條切線經(jīng)過點(diǎn)（a，0），（a＞0），則存在t，使（3t²-1）a-2t³=0．于是若過點(diǎn)P可作曲線y=f（x）的三條切線，則方程（3t²-1）a-2t³=0．有三個不同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)g（t）=2t³-3at²+a，求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，令極小值小于0，極大值大于0，即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-1，f′（t）=3t²-1，
∴曲線y=f（x）在x=t處的切線方程為：y-f（t）=f′（t）（x-t），
即y=（3t²-1）x-2t³；
（2）如果存在一條切線經(jīng)過點(diǎn)（a，0），（a＞0），
則存在t，使（3t²-1）a-2t³=0．
于是若過點(diǎn)P可作曲線y=f（x）的三條切線，
則方程（3t²-1）a-2t³=0．有三個不同的實(shí)數(shù)根，
記g（t）=2t³-3at²+a，g′（t）=6t²-6at=6t（t-a），
若g′（t）＞0，則則t＜0，或t＞a，g′（t）＜0，則0＜t＜a，
故g（t）在t=0處有極大值a，在t=a處有極小值a-a³，
要g（t）=0有3個不同的實(shí)根，
則a＞0且a-a³＜0，解得a＞1．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，以及極值，考查方程和函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，極值的符號與零點(diǎn)的個數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．