Question

△ABC中，∠A=60°，∠A的平分線AD交邊BC于D，已知AB=3，且

AD

=

1

3

AC

+λ

AB

(λ∈R)，則AD的長(zhǎng)為

2

3

．

Answer 1

分析：先根據(jù)點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)共線求出λ的值，然后根據(jù)向量的加法法則，作出平行四邊形AEDF，最后根據(jù)已知條件可求出所求．

解答：解：∵點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)共線，

AD

=

1

3

AC

+λ

AB

(λ∈R)，
∴

1

3

+λ=1解得λ=

2

3

根據(jù)向量的加法法則，作出平行四邊形AEDF
則

AD

=

AE

+

AF

=  

1

3

AC

+λ

AB

(λ∈R)
∴

AF

=

1

3

AC

，

AE

=

2

3

AB

而AB=3，則AE=2，
∵AD是角A的角平分線又是平行四邊形AEDF的對(duì)角線
∴平行四邊形AEDF是菱形則AF=FD=2，∠FAD=30°
作AD的垂線FM交AD于M，則AM=

3

，
∴AD=2

3

故答案為：2

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及向量的運(yùn)算，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．