Question

9．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足sinBcosA=-（2sinC+sinA）cosB．
（1）求角B的大小；
（2）求函數(shù)f（x）=2cos2x+cos（2x-B）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值及對應的x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)和與差的公式和正弦定理可得角B的大��；
（2）根據(jù)B角化簡f（x），x∈$[0，\frac{π}{2}]$上時，求出內層函數(shù)的取值范圍，結合三角函數(shù)的圖象和性質，即可求出f（x）的最小值和對應的x的值．

解答 解：（1）由已知sinBcosA=-（2sinC+sinA）cosB，
得：sinBcosA=-2sinCcosB-sinAcosB，
∴sinBcosA+sinAcosB=-2sinCcosB
即sinC=-2sinCcosB，
∴$cosB=-\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π
∴$B=\frac{2π}{3}$．
（2）由（1）得$B=\frac{2π}{3}$．
∴$f（x）=2cos2x+cos2xcos\frac{2π}{3}+sin2xsin\frac{2π}{3}$=$\frac{3}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x$=$\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）$
當$x∈[0，\frac{π}{2}]$上時，
可得：$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
當$2x+\frac{π}{3}=\frac{4π}{3}$時，即$x=\frac{π}{2}$時，f（x）取得最小值，即$f（\frac{π}{2}）=\sqrt{3}×（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）=-\frac{3}{2}$．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值為$-\frac{3}{2}$，此時$x=\frac{π}{2}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，和與差的公式和正弦定理的計算，第二問利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．