三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，M為三角形ABC的重心，D為AB的中點(diǎn)，作與SC平行的直線DP．
證明：
（1）DP與SM相交；
（2）設(shè)DP與SM的交點(diǎn)為D′，則D′為三棱錐S-ABC的外接球球心．

精英家教網(wǎng)
證明：（1）∵DP∥SC，故DP、CS共面．
∴DC?面DPC，
∵M(jìn)∈DC，∴M∈面DPC，∴SM?面DPC．
∵在面DPC內(nèi)SM與SC相交，故直線SM與DP相交．
（2）∵SA、SB、SC兩兩互相垂直，∴SC⊥面SAB，∴SC⊥SD．
∵DP∥SC，∴DP⊥SD，△DD′M∽△CSM．
∵M(jìn)為△ABC的重心，∴DM：MC=1：2．∴DD′：SC=1：2．
取SC中點(diǎn)Q，連D′Q．則SQ=DD′，
∴SQ
∥
.
DD′，SC⊥SD，
∴平面四邊形DD′QS是矩形．
∴D′Q⊥SC，又SQ=QC，知D′C=D′S．
同理，D′A=D′B=D′C=D′S．
即以D′為球心D′S為半徑作球D′，則A、B、C均在此球上．
 即D′為三棱錐S-ABC的外接球球心．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖在三棱錐S-ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AC=2，BC=
13
，SB=
29
．
（1）證明SC⊥BC．
（2）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，SC⊥平面ABC，點(diǎn)P、M分別是SC和SB的中點(diǎn)，設(shè)PM=AC=1，∠ACB=90°，直線AM與直線SC所成的角為60°．
（1）求證：平面MAP⊥平面SAC．
（2）求二面角M-AC-B的平面角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2
3
，M，N分別為AB，SB的中點(diǎn)．
（1）證明：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的大��；
（3）求點(diǎn)B到平面CMN的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為8的正三角形，SA=SC=2
7
，二面角S-AC-B的大小為60°
（1）求證：AC⊥SB；
（2）求三棱錐S-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SBC⊥平面ABC，SB=SC=AB=2，BC=2
2
，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)B到平面SAC的距離；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

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