Question

若直線(xiàn)y=1與函數(shù)y=3sin2x在區(qū)間(0，

π

2

)內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，則線(xiàn)段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為

（

π

4

，1）

．

Answer 1

分析：直線(xiàn)y=1與函數(shù)y=3sin2x圖象的交點(diǎn)滿(mǎn)足sin2x=

1

3

，結(jié)合x(chóng)∈（0，

π

2

），可分別求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到線(xiàn)段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：由3sin2x=1，得sin2x=

1

3

，
∵x∈（0，

π

2

），2x∈（0，π）
∴2x=arcsin

1

3

或π-arcsin

1

3

，可得x=

1

2

arcsin

1

3

或

π

2

-

1

2

arcsin

1

3

因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

1

2

arcsin

1

3

，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

π

2

-

1

2

arcsin

1

3

，1）
根據(jù)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得
AB中點(diǎn)C（

1

2

[

1

2

arcsin

1

3

+（

π

2

-

1

2

arcsin

1

3

）]，1），即C（

π

4

，1）
故答案為：（

π

4

，1）

點(diǎn)評(píng)：本題給出平行于x軸的直線(xiàn)與正弦函數(shù)圖象交于A、B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，著重考查了簡(jiǎn)單的三角方程和正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．