Question

已知偶函數(shù)y=f（x）滿足：當(dāng)x≥2時，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=x（2-x）
（1）求當(dāng)x≤-2時，f（x）的表達式；
（2）若直線y=1與函數(shù)y=f（x）的圖象恰好有兩個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）試討論當(dāng)實數(shù)a，m滿足什么條件時，函數(shù)g（x）=f（x）-m有4個零點且這4個零點從小到大依次成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)x≤-2，則-x≥2，再利用函數(shù)是偶函數(shù)可求；（2）分a＞2與a≤2進行討論可求；（3）問題等價于f（x）=m零點x₁，x₂，x₃，x₄，y=f（x）與y=m交點4個且均勻分布，從而可解．
解答：解：（1）設(shè)x≤-2，則-x≥2，∴f（-x）=（-x-2）（a+x）
又∵偶函數(shù)∴f（x）=f（-x）f（x）=（x+a）（-x-2）（2分）
（2）（Ⅰ）a＞2時x≥2，f（x）=（x-2）（a-x）
（3分）

（Ⅱ）a≤2時，都滿足
綜上，所以 a＜4（2分）
（3）f（x）=m零點x₁，x₂，x₃，x₄，y=f（x）與y=m交點4個且均勻分布
（Ⅰ）a≤2時得（2分）

（Ⅱ）2＜a＜4時，時
且（2分）
所以 時，
（Ⅲ）a=4時m=1時    （1分）
（IV）a＞4時，m＞1
此時
所以 （舍）a＞4且時，時存在  （2分）
綜上：
①時，
②a=4時，m=1
③時，符合題意（1分）
點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，解析式的求解及分類討論的數(shù)學(xué)思想．