Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為1的正方體．
（1）求異面直線A₁D與AC成所成角的大�。�
（2）求證：平面ACB₁⊥平面BB₁D₁D．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知中正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁為棱長為1的正方體，結(jié)合正方體的幾何特征，我們易得∠ACB₁就是異面直線A₁D與AC所成角，△ACB₁中為等邊三角形，即可得到異面直線A₁D與AC所成角
（2）由正方體的性質(zhì)可知DD₁⊥面AC，即DD₁⊥AC，又由AC⊥BD，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AC⊥面B₁D₁DB，再由面面垂直的判定定理即可得到平面ACB₁⊥平面B₁D₁DB．

解答： 解：（1）如圖，A₁D∥B₁C，
則∠ACB₁就是異面直線A₁D與AC所成角．
在△ACB₁中，AC=AB₁=B₁C，
則∠ACB₁=60°，
因此異面直線A₁D與AC所成角為60°．
（2）由正方體的性質(zhì)可知DD₁⊥面AC，
故DD₁⊥AC，
又正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴AC⊥面B₁D₁DB；
又AC?平面ACB₁，
∴平面ACB₁⊥平面B₁D₁DB．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定及異面直線及其所成的角，熟練掌握正方體的幾何特征，從中分析出線與線、線與面的平行、垂直關系及夾角是解答本題的關鍵．