Question

在平面直角坐標(biāo)系中圓心在直線y=x+4上，半徑為2

2

的圓C經(jīng)過原點O，
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）求過點（0.2）且被圓截得的弦長為4的直線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知圓C的半徑，設(shè)出圓心坐標(biāo)為（a，b），寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓心在直線y=x+4上，把圓心坐標(biāo)代入直線方程，得到關(guān)于a與b的方程，再由圓C過原點，把原點坐標(biāo)代入圓C方程，得到關(guān)于a與b的另一個方程，聯(lián)立兩方程可得出a與b的值，進(jìn)而確定出圓C的方程；
（Ⅱ）分兩種情況考慮：1′當(dāng)所求直線的斜率存在時，設(shè)出所求直線的斜率為k，由直線過（0，2）和k，表示出直線的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線的距離d，同時由弦長和半徑，利用垂徑定理及勾股定理求出弦心距d，得出關(guān)于k的方程，發(fā)現(xiàn)此方程無解，故k不存在；2′當(dāng)所求直線的斜率不存在時，經(jīng)過驗證，得到直線x=0滿足條件，
綜上，得到所求直線的方程為x=0．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵r=2

2

，∴圓C：（x-a）²+（y-b）²=8，（1分）
又圓心在直線y=x+4上，且圓C過原點O，
∴

b=a+4 a2+b2=8

，（3分）
解得：

a=-2 b=2

，（5分）
則所求圓的方程為：（x+2）²+（y-2）²=8；（6分）
（Ⅱ）分兩種情況考慮：
1′當(dāng)k存在時，設(shè)直線的方程為：y-2=kx，即kx-y+2=0，（7分）
∴圓心到直線的距離d=

|-2k-2+2|

k2+1

，（8分）
又r=2

2

，弦長為4，
∴r²=2²+d²，即d²=4，
解得：d=2，（9分）
∴

|-2k-2+2|

k2+1

=2，即|k|=

k2+1

，
此方程無解，故k不存在；（10分）
2′當(dāng)k不存在時，經(jīng)驗證，直線方程為x=0，（11分）
綜上，所求直線的方程為x=0．（12分）

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點到直線的距離公式，垂徑定理，以及勾股定理，利用了分類討論的思想，是高考中常考的題型．當(dāng)直線與圓相交時，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點，進(jìn)而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．