Question

10．四棱錐P-ABCD中，PC=AB=1，BC=a，∠ABC=60°，底面ABCD為平行四邊形，PC⊥平面ABCD，點M，N分別為AD，PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAB；
（2）若∠PAB=90°，求二面角B-AP-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PB為中點Q，連結(jié)NQ，QA，推導(dǎo)出四邊形AMNQ為平行四邊形，從而MN∥AQ，由此能證明MN∥平面PAB．
（2）以C為原點，CD為x軸，CA為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-AP-D的正弦值．

解答 證明：（1）取PB為中點Q，連結(jié)NQ，QA，
∵點M，N分別為AD，PC的中點，
∴QN是中位線，∴QN∥BC，
又∵ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC∥QN，
∵M是AD中點，∴QN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD=AM，
∴四邊形AMNQ為平行四邊形，∴MN∥AQ，
又MN?平面PAB，AQ?平面PAB，
∴MN∥平面PAB．
解：（2）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AB，
又∵PA⊥AB，∴AB⊥面PAC，AB⊥AC，∴a=2，CD⊥AC，
以C為原點，CD為x軸，CA為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，$\sqrt{3}$，0），B（-1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{AP}$=（0，-$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{AB}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{AD}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
設(shè)面ABP的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=-\sqrt{3}y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
設(shè)面APD的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=a-\sqrt{3}b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-\sqrt{3}b+c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{7}}$，
∴二面角B-AP-D的正弦值為$\sqrt{1-（\frac{4}{2\sqrt{7}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．